決戰哥德巴赫~ 一條有限長度的 Recursive Sequence Part2

下面是我將 GoldBach Recursive Search 用數學方式表現出:
首先我們將所有正整數不包括2的奇質數收集起來, 記做 N(p)

Def.

Mp(n) = max {p∈N(p) :p≤n}

Mp(n,m) = max {p∈N(p) :p≤n and p/m}

Def.(GoldBach Recursive Relation)

Let C_i = P_i * K_i and P_i = Mp(n , C_i) = n-d_i , P_i ≠ 2

C_i+1 = P_i+2d_i = 2n-P_i = n+d_i

Def.

If {C_i} , {P_i} , {d_i} satisfy the GoldBach Recursive Relation we denote

(C_i , P_i , d_i) ~ G

上面所定義的是一個遞回型式的序列 , 我利用這個遞回的序列來逼進我們要找的哥德巴赫質數 p , q , 也就是給定我任意一個偶數 2n 並把它標在數線上 , 則n自然成為中間數 , 並將數線劃分為左右兩個區塊 , 左邊區塊為小於n的區域 , 右邊區塊為大於n的區域 , 上面提到 {P_i}的序列根據定義都將分布在左邊區塊 , 且必定是質數 , 並藉由與 n 等距的性質找出分布於右邊區塊的{C_i} , 且根據我的臆測必定會存在一個 C_i 必為質數 , 但這句話其實是相當需要考舊的 , 這句話的背後同時就是GoldBach Conjecture的精神所在 , 我將花很大的工程去說明這件事.......

首先針對GoldBach Recursive Sequence提出兩個簡單的性質 :

Lemma 1

If (C_i , P_i , d_i)~G and C_0=n ⇒ n ≤ C_i < 2n

Lemma 2

If (C_i , P_i , d_i)~G 且 P_i < P_j ⇔ C_i+1 < C_j+1

我當時在辦公室再Research 這個GoldBach Recursive Sequence時曾經寫下了一個小Remark , 敘述如下 :

Sequence {C_i} is not a infinitly sequence ?? Why ?? What condition of C_k such that there doesn't exist C_k+1 i.e. C_k is the last term

當初會這樣想 , 主要是擔心我的演算法在搜尋哥德巴赫質數時 , 會行程無窮回圈 , 也就是右邊區域的{C_i} 會重複出現 , 目前我還找不到反例 , 不過要特別說明 , 在邏輯上而言 , 我的GoldBach Recursive Sequence條件其實比原本GoldBach Conjecture還要強 , 也就是說 , 要是我的GoldBach Recursive 的搜尋質數方法對於所有偶數都成立 , 即可說明GoldBach Conjecture為真 , 但如果不幸我的演算法破功 , 也無法說明GoldBach Conjecture是錯誤的 , 然而要避免我的演算法再決戰歌德巴赫功虧一簣 , 我唯一的努力就是避免我的Gold Recursive Search 不會是無窮回圈 , 於是我提出一個猜想 , 這個猜想不是GoldBach Conjecture的等價猜想 , 姑且稱他為 "周氏猜想 " , 這會不會太自戀啦..........!!!

(Chou's Conjecture 2005 )

若 (C_i , P_i , d_i) ~ G ⇒ the length of {C_i} = k , for some nature number k< ∞

不過話說回來 , 提出猜想容易 , 解決猜想可就路途遙遠了 , 雖然這麼說 , 但我仍開始著手猜想的証明 , 不過我先簡單說明為何我的GoldBach Recursive Sequence可以成功證明GoldBach Conjectur

首先 , 我要先提出一個遞回序列的終止條件所產生的性質 , 這個終止條件並不是數學定義 , 而是一個需要證明的Condition

(Terminal Condition)

Assume (C_i , P_i , d_i)~G 若C_k∈N(p) ⇔ C_k+1 doesn't exit

Proof ~ 我們皆採用反證說明

(=>)

C_k∈N(p) but C_k+1 exists => C_k+1 = P_k + 2d_k

=> P_k = Mp(n , C_k)

=> P_k < n 且 P_k / C_k for C_k∈N(p)

=> C_k = P_k < n , contracdiction by Lemma 1

(<=)

若 C_k not belong to N(p) => C_k= P_k * K_k , P_k = M(n , C_k)

=> C_k+1 = P_k +2(n-P_k) = 2n-P_k

=> C_k+1 exists

接下來要說明為何我可以藉由我的猜想來證明GoldBach Conjecture:

Theorem ( Chou to GoldBach)

If (C_i , P_i , d_i)~G

=> for all even number 2n , n ≥ 3 , there must exist p , q ∈N(p) such that 2n=p+q

Proof

∀ n∈N , we set n= C_0

因為 (C_i , P_i , d_i)~G => the length of {C_i} = k , for some nature number k< ∞ (By Chou's Conjecture)

=> ∃k∈N s.t Ck+1 doesn't exit

=> Ck ∈ N(p) (By Terminal Condtion)

=> 2n-P_k-1 = Ck and 2n = C_k + P_k-1 for all n ≥ 3

we get two prime number p = C_k and q = P_k-1

說到這 , 我剩下的責任就是想辦法解決我自己提出的猜想 , 我剛剛說過 , 解決猜想的路是遙遠 , 但我已經開始利用建構式的方法開始著手我的証明 , 證明的過程真的出奇的繁複也相當困難 , 當中也用到著名數學大師Erdos的理論 , 也不確定是不是有其他的數論專家跟我有相同的想法 , 也不確定會不會真的出現讓人意想不到的反例 , 不論我的想法是否正確 , 至少我可以很榮幸的說:

我挑戰了哥德巴赫 !! 等我的好消息吧........^^