決戰哥德巴赫 - 一條有限長度的 Recursive Sequence

今年10月忙完中聯信託的案子 , 呼!! 終於可以鬆一口氣 , 因為我已經受夠每天在狹窄的資訊室 , 修改那些IBM 4758加解密程式 , 回到公司後除了比較輕鬆自在外 , 突然感到小小的無聊 , 想到上星期陳文瑞老兄來我家時 , 我對他提出在數論上存在一個類似線性代數的運算擴張 , 他竟然無動於衷 , 還反問我你這個運算擴張可以做什麼!? 有辦法解決 GoldBach Conjecture 嗎!? 喔喔!! 他刺激到我 , GoldBach 雖然名列希爾伯特第八個問題 , 但我覺得他應該是最可能被解決的問題 , 只是沒想到我當兵的時候 , 第十個 Poincaré Conjecture 竟然先被KO (是第十嗎!? 忘了) , 所以我決定在公司拿哥德巴赫來打發時間並慰勞我的辛勞 , 哥德巴赫猜想解決方式可以說千奇百怪都有 , 每年都有將近十來人聲稱自己經解決哥德巴赫 , 但通通出局 , GoldBach的問題之所以艱深 , 除了質數本身不具規律的性質外 , 重點就是代數結構鮮少處理在跨運算下未呈現封閉(close)特性的結構 , 這個問題目前最成功的是中國著名的解析數論專家陳景潤的 "1+2" , 數學界號稱陳景潤在高德巴赫猜想的成就只差將腳跨過巨峰山頂 , 他的在中國知名度決對不在陳省身之下 , 就連續劇都有他的腳本 , 就可見不是普通的紅 , 先說一下該問題的敘述 :

For all even number 2n , n ≥2 then there must exit two prime number p , q s.t. 2n=p+q

我給他一個等價敘述 :

For all even number 2n , n≥2 then there must exit a number d s.t. n-d and n+d are both prime numbers

改成這個敘述其實難度是一樣 , 但卻提供給我們另外一個解決這個問題的角度 , 我花了一些時間再解決這問題上提出一個想法 :

任意給我一個偶數 2n , 我都可以透過一個極具規律的演算法 , 找到那個 p 及 q

當然 , 這個想法不是我第一個 , 我之前就在美國的 MathForum 看到有人在想 , 如何去Search 這兩個神祕的Prime Number , 但似乎一直沒有太多的後續結果 , 沒錯!! 我在拿幾個偶數分析後 , 配合我對GoldBach 的等價敘述 , 我想到一個給我任意偶數 , 我都可以透過該演算法輕鬆找到這兩個相加的質數 , 這個演算法背後所呈現是一個　Recursive Sequence , 我姑且稱他為 GoldBach Sequence , 演算法敘述如下 :

GoldBach Recursive Search:

Input : Any even number 2n
Output: two prime number p and q s.t p+q = 2n

1. 先判斷 n 是否為質數 , 如果是 , 找到 p = q = n , 結束
2. 若不是 , 找比n小的最大質數 P0 and we caculate d0 = n-P0
3. Caculate C1= n+d0 , and verify C1 是否為質數 , 如果是 , 找到 p=P0 , q=C1
4. 若不是 , 找整除C1且比n小的最大質數 P1 and we caculate d1 = n-P1
5. Caculate C2= n+d1 , and verify C2 是否為質數 , 如果是 , 找到 p=P1 , q=C2
6. 若不是 , 再找整除C2且比n小的最大質數 P2 並繼續重複4及5的步驟..........沒錯!! 最終你會找到那兩個神祕的 p 及 q

舉個例子吧:
如何將 56 拆成兩個質數相加

56 -> 28 -> 23 -> 33 -> 11 -> 45 -> 5 -> 51 -> 17 -> 39 -> 13 -> 43

So 56 = 13 + 43

我最大曾經拆解 10000 這麼大的數字都正確無誤 , 但我知道 , 這在數論仍只是區區一個小數字而已.....

這演算法聽起來還挺簡單的 , 小學生都可以下去算 , 不過演算法的難度我可以提早宣告 , 幾乎篤定又是一個Exponetial Time 的複雜度 , 關鍵在於當數字越大時你要做直因數分解難度越高 , 但GoldBach Recursive Search 要拿來解釋GoldBach Conjecture的正確性 , 其實還隱藏許多問題 , 第一個直覺就是 :

憑什麼對於任意偶數 , 都可以透過GoldBach Recursive Search找到 p 及 q , 也就是會不會有一個偶數會讓該演算法行成無窮回圈 !?

既然要直接面對世紀難題GoldBach 的挑戰 , 看樣子我們又要進入數學 , 接下來我要用數學來表示 , 是否會存在一個 Finite Length GoldBach Recursive Sequence ?


(待續)